メモ：4次ルンゲクッタ法の局所打切誤差はステップ変えて計算して差をとって16/15倍

B.Carnahan, H.A.Luther, J.O.Wilkes, 1996: Applied Numerical Methods (Wiley,
藤田宏他訳, 1982) いわく、
4次ルンゲクッタ法の局所打切誤差はステップ変えて計算して差をとって16/15倍であると。
[§6.6 p.613 eq.(6.74)]

誤差が一方向に累積するという前提でいえば、ステップ変えて積分やっちゃって、差をとって小さければオッケーということになる。
なめらかで特性が変わらない関数ならそれでもいいんじゃないか。
おもしろいのは、そのあとで Collatz, L., 1960: The Numerical Treatment of
Differential Equations, Third Ed., Springer, Berlin. を引用して、動的ステップ幅制御は |(k3 - k2)/(k2 - k1)| が一定値以下になるように制御するとよいのだとい
う（記号は http://goo.gl/W6gxz とか参照)。これを組み合わせれば、なんちゃって誤差評価付きの積分ができそうな気がする。

なお、もちろん読者諸兄の被積分関数でそれが成り立つかどうかは請け合わない。ランダムにとてもでかい局所打ち切り誤差が積分区間のいろんなところで正負に発生してキャンセルしているならば、それが小さいからと言って何の保証にもならない。