回転楕円体からのポーラーステレオ図法

まず、半径 $R$ の地球からのステレオ図法の順投影 $f: \varphi, \lambda \to E, N$ は、
緯度を $\varphi$ とすると

$$r = 2 R \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right)$$

$$E = r \sin\left(\lambda - \lambda_0\right)$$

$$N = -r \cos\left(\lambda - \lambda_0\right)$$

と表わされる。

ステレオ図法は正角図法であるから、その性質を壊さないためには、
なんらかの回転楕円体から球への等角写像 $g: \varphi', \lambda' \to \varphi, \lambda$ の後に $f$ を適用すればよい。
ステレオ図法は方位図法であるから、経度方向の伸縮があると図に裂け目ができてしまうし、両極は両極に写像されないといけない。
その条件を満たすありがたい等角写像があって

$$\lambda = \lambda'$$

$$\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi'}{2}\right) \cdot \left(\frac{1 - e\sin\varphi'}{1 + e\sin\varphi'}\right)^{e/2}$$

というのである。ここで $\cot x = 1/\tan x = \tan(\pi/2 - x)$ であることを思い出すと

$$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi'}{2}\right) \cdot \left(\frac{1 + e\sin\varphi'}{1 - e\sin\varphi'}\right)^{e/2}$$

$$r = 2 R \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi'}{2}\right) \cdot \left(\frac{1 + e\sin\varphi'}{1 - e\sin\varphi'}\right)^{e/2}$$

ということになる。

あとは $R$ をどうやって評価するかであるが、ふつう標準緯度における縮尺が与えられるので、その緯度円の地図上の円周と、回転楕円体上の緯度円の円周が等しくなるようにすれば地球赤道半径 $a$ を用いた形にすることができる。

EPSG 9830 http://epsg.io/9830-method なんかはそうやっている。