回転楕円体からのステレオ図法（MathJaxの練習）

EPSG 9829 とか EPSG:9830 にでてくる投影式はなんですかというメモ。

ステレオ図法というのを北半球天気図なんかでよく使う。
地球を球だと思えばその投影式はこんなである。

\[ E = a\sin\left(\lambda - \lambda_0\right) \]
\[ N = -a\cos\left(\lambda - \lambda_0\right) \]
\[ r = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2} \right) \]

が、しかし、回転楕円体であることを意識するならば、そうはいかない。回転楕円体から球面への等角写像をして、さらに球面から上記の投影をおこなうことになる。

等角写像の選択に任意性がないわけでもない。しかし、実際には経度を保存する写像をつかわないと緯度円を円に投影しないことになって、方位図法では大変具合が悪い。楕円体上の緯度 \(\varphi\) を球面上の緯度 \(\chi\) にうつしてから投影することになる・

\[
  \tan\left(\frac{\chi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
= \tan\left(\frac{\varphi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)
  \left( \frac{1 - e\sin\varphi}{1 + e\sin\varphi} \right)^{e/2}
\]